圓周率（圓的周長(zhǎng)與直徑的比值）

   

    實(shí)驗(yàn)時(shí)期-- 一塊古巴比倫石匾（約產(chǎn)于公元前1900年至公元前1600年）清楚地記載了圓周率=25/8=3.125。 同一時(shí)期的古埃及文物，萊因德數(shù)學(xué)紙草書（Rhind Mathematical Papyrus）也表明圓周率等于分?jǐn)?shù)16/9的平方，約等于3.1605。 埃及人似乎在更早的時(shí)候就知道圓周率了。英國(guó)作家John Taylor（1781—1864）在其名著《金字塔》（《The Great Pyramid: Why was it built, and who built it?》）中指出，造于公元前2500年左右的胡夫金字塔和圓周率有關(guān)。例如，金字塔的周長(zhǎng)和高度之比等于圓周率的兩倍，正好等于圓的周長(zhǎng)和半徑之比。公元前800至600年成文的古印度宗教巨著《百道梵書》（Satapatha Brahmana）顯示了圓周率等于分?jǐn)?shù)339/108，約等于3.139。

    幾何法時(shí)期-- 古希臘作為古代幾何王國(guó)對(duì)圓周率的貢獻(xiàn)尤為突出。古希臘大數(shù)學(xué)家阿基米德（公元前287年—公元前212年）開創(chuàng)了人類歷史上通過理論計(jì)算圓周率近似值的先河。阿基米德從單位圓出發(fā)，先用內(nèi)接正六邊形求出圓周率的下界為3，再用外接正六邊形并借助勾股定理求出圓周率的上界小于4。接著，他對(duì)內(nèi)接正六邊形和外接正六邊形的邊數(shù)分別加倍，將它們分別變成內(nèi)接正12邊形和外接正12邊形，再借助勾股定理改進(jìn)圓周率的下界和上界。他逐步對(duì)內(nèi)接正多邊形和外接正多邊形的邊數(shù)加倍，直到內(nèi)接正96邊形和外接正96邊形為止。最后，他求出圓周率的下界和上界分別為223/71和22/7，并取它們的平均值3.141851為圓周率的近似值。阿基米德用到了迭代算法和兩側(cè)數(shù)值逼近的概念，稱得上是“計(jì)算數(shù)學(xué)”的鼻祖。

    中國(guó)古算書《周髀算經(jīng)》（約公元前2世紀(jì)）的中有“徑一而周三”的記載，意即取 。 漢朝時(shí)，張衡得出 ，即 （約為3.162）。這個(gè)值不太準(zhǔn)確，但它簡(jiǎn)單易理解。

    公元263年，中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽用“割圓術(shù)”計(jì)算圓周率，他先從圓內(nèi)接正六邊形，逐次分割一直算到圓內(nèi)接正192邊形。他說：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣�！边@包含了求極限的思想。劉徽給出π=3.141024的圓周率近似值，劉徽在得圓周率=3.14之后，將這個(gè)數(shù)值和晉武庫中漢王莽時(shí)代制造的銅制體積度量衡標(biāo)準(zhǔn)嘉量斛的直徑和容積檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)3.14這個(gè)數(shù)值還是偏小。于是繼續(xù)割圓到1536邊形，求出3072邊形的面積，得到令自己滿意的圓周率3.1416。

    公元480年左右，南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖沖之進(jìn)一步得出精確到小數(shù)點(diǎn)后7位的結(jié)果，給出不足近似值3.1415926和過剩近似值3.1415927，還得到兩個(gè)近似分?jǐn)?shù)值，密率 和約率 。密率是個(gè)很好的分?jǐn)?shù)近似值，要取到 才能得出比 略準(zhǔn)確的近似。

    在之后的800年里祖沖之計(jì)算出的π值都是最準(zhǔn)確的。其中的密率在西方直到1573年才由德國(guó)人奧托（Valentinus Otho）得到，1625年發(fā)表于荷蘭工程師安托尼斯（Metius）的著作中，歐洲稱之為Metius' number。

    約在公元530年，印度數(shù)學(xué)大師阿耶波多算出圓周率約為 。婆羅摩笈多采用另一套方法，推論出圓周率等于10的算術(shù)平方根。

    阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家卡西在15世紀(jì)初求得圓周率17位精確小數(shù)值，打破祖沖之保持近千年的紀(jì)錄。德國(guó)數(shù)學(xué)家魯?shù)婪颉し丁た埔羵悾↙udolph van Ceulen）于1596年將π值算到20位小數(shù)值，后投入畢生精力，于1610年算到小數(shù)后35位數(shù)，該數(shù)值被用他的名字稱為魯?shù)婪驍?shù)。

圓周率（圖）

    分析法時(shí)期-- 這一時(shí)期人們開始利用無窮級(jí)數(shù)或無窮連乘積求π，擺脫可割圓術(shù)的繁復(fù)計(jì)算。無窮乘積式、無窮連分?jǐn)?shù)、無窮級(jí)數(shù)等各種π值表達(dá)式紛紛出現(xiàn)，使得π值計(jì)算精度迅速增加。 第一個(gè)快速算法由英國(guó)數(shù)學(xué)家梅欽（John Machin）提出，1706年梅欽計(jì)算π值突破100位小數(shù)大關(guān)，他利用了如下公式： 其中arctanx可由泰勒級(jí)數(shù)算出。類似方法稱為“梅欽類公式”。

    斯洛文尼亞數(shù)學(xué)家Jurij Vega于1789年得出π的小數(shù)點(diǎn)后首140位，其中只有137位是正確的。這個(gè)世界紀(jì)錄維持了50年。他利用了梅欽于1706年提出的數(shù)式。

    到1948年英國(guó)的弗格森（D. F. Ferguson）和美國(guó)的倫奇共同發(fā)表了π的808位小數(shù)值，成為人工計(jì)算圓周率值的最高紀(jì)錄。

圓周率（圖）

    計(jì)算機(jī)時(shí)代-- 電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)使π值計(jì)算有了突飛猛進(jìn)的發(fā)展。1946年，美國(guó)制造的世上首部電腦——ENIAC（ElectronicNumerical Integrator And Computer）在阿伯丁試驗(yàn)場(chǎng)啟用了。次年，里特韋斯納、馮紐曼和梅卓普利斯利用這部電腦，計(jì)算出π的2037個(gè)小數(shù)位。這部電腦只用了70小時(shí)就完成了這項(xiàng)工作，扣除插入打孔卡所花的時(shí)間，等于平均兩分鐘算出一位數(shù)。五年后，IBM NORC（海軍兵器研究計(jì)算機(jī)）只用了13分鐘，就算出π的3089個(gè)小數(shù)位�？萍疾粩噙M(jìn)步，電腦的運(yùn)算速度也越來越快，在20世紀(jì)60年代至70年代，隨著美、英、法的電腦科學(xué)家不斷地進(jìn)行電腦上的競(jìng)爭(zhēng)，π的值也越來越精確。在1973年，Jean Guilloud和Martin Bouyer以電腦CDC 7600發(fā)現(xiàn)了π的第一百萬個(gè)小數(shù)位。

    在1976年，新的突破出現(xiàn)了。薩拉明（Eugene Salamin）發(fā)表了一條新的公式，那是一條二次收斂算則，也就是說每經(jīng)過一次計(jì)算，有效數(shù)字就會(huì)倍增。高斯以前也發(fā)現(xiàn)了一條類似的公式，但十分復(fù)雜，在那沒有電腦的時(shí)代是不可行的。這算法被稱為布倫特-薩拉明（或薩拉明-布倫特）演算法，亦稱高斯-勒讓德演算法。

    1989年美國(guó)哥倫比亞大學(xué)研究人員用克雷－2型（Cray-2）和IBM－3090/VF型巨型電子計(jì)算機(jī)計(jì)算出π值小數(shù)點(diǎn)后4.8億位數(shù)，后又繼續(xù)算到小數(shù)點(diǎn)后10.1億位數(shù)。2010年1月7日——法國(guó)工程師法布里斯·貝拉將圓周率算到小數(shù)點(diǎn)后27000億位。2010年8月30日——日本計(jì)算機(jī)奇才近藤茂利用家用計(jì)算機(jī)和云計(jì)算相結(jié)合，計(jì)算出圓周率到小數(shù)點(diǎn)后5萬億位。

    2011年10月16日，日本長(zhǎng)野縣飯?zhí)锸泄�司職員近藤茂利用家中電腦將圓周率計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后10萬億位，刷新了2010年8月由他自己創(chuàng)下的5萬億位吉尼斯世界紀(jì)錄。56歲的近藤茂使用的是自己組裝的計(jì)算機(jī)，從10月起開始計(jì)算，花費(fèi)約一年時(shí)間刷新了紀(jì)錄。

   

   【國(guó)際圓周率日】 2011年，國(guó)際數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)正式宣布，將每年的3月14日設(shè)為國(guó)際數(shù)學(xué)節(jié)，來源則是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之的圓周率。

    國(guó)際圓周率日可以追溯至1988年3月14日，舊金山科學(xué)博物館的物理學(xué)家Larry Shaw，他組織博物館的員工和參與者圍繞博物館紀(jì)念碑做3又1/7圈（22/7，π的近似值之一）的圓周運(yùn)動(dòng)，并一起吃水果派。之后，舊金山科學(xué)博物館繼承了這個(gè)傳統(tǒng)，在每年的這一天都舉辦慶�；顒�(dòng)。

2009年，美國(guó)眾議院正式通過一項(xiàng)無約束力決議，將每年的3月14日設(shè)定為“圓周率日”。決議認(rèn)為，“鑒于數(shù)學(xué)和自然科學(xué)是教育當(dāng)中有趣而不可或缺的一部分，而學(xué)習(xí)有關(guān)π的知識(shí)是一教孩子幾何、吸引他們學(xué)習(xí)自然科學(xué)和數(shù)學(xué)的迷人方式……π約等于3.14，因此3月14日是紀(jì)念圓周率日最合適的日子。”